Cuartiles

Dado un conjunto de datos \(x_1, x_2, ..., x_n\), podemos ordenar los datos de menor a mayor y dividirlos en cuatro partes con la misma cantidad de datos. Los valores que están en los extremos de estas divisiones son lo que llamamos cuartiles.

Cuando dividimos algo en dos partes, hacemos un corte; cuando dividimos en tres partes, hacmos dos cortes. Es decir, que para dividir nuestra data en cuatro partes, necesitamos tres cuartiles, identificados como \(Q_1\), \(Q_2\) y \(Q_3\).

Junto con el mínimo y el máximo, estos 5 valores sirven para resumir la distribución de una variable, con menos detalle que un histograma pero con más información que usando sólo la media y la varianza.

En R podemos usar la función summary para resumir un data.frame con estos 5 valores más la media en el caso de variables cuantitativas; para las variables cualitativas nos dará una tabla de frecuencias.

Como siempre, limpiamos los nombres de nuestro data frame antes de hacer cualquier cálculo.

library(dplyr)
library(janitor)

iris <- iris %>% as_tibble() %>% clean_names()

Ahora sí, calculemos el resumen de iris

iris %>% 
  select(sepal_length, sepal_width) %>% 
  summary()

##   sepal_length    sepal_width   
##  Min.   :4.300   Min.   :2.000  
##  1st Qu.:5.100   1st Qu.:2.800  
##  Median :5.800   Median :3.000  
##  Mean   :5.843   Mean   :3.057  
##  3rd Qu.:6.400   3rd Qu.:3.300  
##  Max.   :7.900   Max.   :4.400

Dos detalles interesantes:

1. En inglés, Cuartil es Quartile. Por eso dice 1st Qu. y 3rd Qu.
2. El segundo cuartil es igual a la Mediana, un estadístico que también se puede considerar una medida de tendencia central. En algunos libros también la podrías encontrar como un promedio no matemático

Rango intercuartílico

La diferencia entre el \(Q_3\) y \(Q_1\) es lo que llamamos Rango intercuartílico y lo representamos con \(IQR\) por Inter-quartile range. Es una medida de dispersión de los datos, ya que representa el ancho del 50% central de los datos. Mientras más dispersos estén los datos, mayor será esta distancia.

\[ IQR = Q_3 - Q_1 \]

Representación gráfica

La manera más común de graficar los cuartiles es con un diagrama de cajas. También conocido como diagrama de caja y bigotes o por su nombre en inglés boxplot. En ggplot2 utilizamos la función geom_boxplot.

library(ggplot2)

iris %>% 
  ggplot() +
  geom_boxplot(aes(y = sepal_length)) +
  theme(
    axis.text.x = element_blank(),
    axis.ticks.x = element_blank()
  )

Interpretación:

1. La variable está representada en el eje \(y\)
2. La línea horizontal del medio de la caja, la más gruesa, es la mediana
3. La línea horizontal inferior de la caja es el 1er cuartil, y la línea horizontal superior es el 3er cuartil
4. La altura de la caja es el Rango intercuartílico. Por lo tanto, mientras mayor sea la dispersión, más grande será la caja
5. Cuando no hay valores atípicos, los extremos de las líneas verticales, llamados Bigotes son el mínimo y el máximo. Cuando hay valores atípicos, son los valores más bajos y altos que no sean valores atípicos.
6. Los valores atípicos se definen en este contexto como valores más altos que \(Q_3 + (1.5 * IQR)\) o más bajos que \(Q_1 - (1.5 * IQR)\). Estos valores se representan con puntos.

iris %>% 
  ggplot() +
  geom_boxplot(aes(x = species, y = sepal_length))

Deciles, Percentiles y Cuantiles (Sí, con n en vez de r)

Podríamos dividir los datos en la cantidad de partes que queramos. Sin embargo, tradicionalmente se dividen los datos en 10 partes y en 100 partes, siendo las divisiones los Deciles y los Percentiles, respectivamente.

Otra forma de ver los cuartiles es que son los valores que dejan por debajo de estos el 25% (\(Q_1\)), el 50% (\(Q_2\)) y el 75% (\(Q_3\)) de las observaciones en la muestra por debajo. Tiene sentido entonces pensar en obtener un estadístico que deje un porcentaje cualquiera de los valores por debajo. A este estadístico le llamamos Cuantil.

La función quantile devuelve por defecto el mínimo, cuartiles y máximo de un vector.

iris %>% 
  pull(sepal_length) %>% 
  quantile()

##   0%  25%  50%  75% 100% 
##  4.3  5.1  5.8  6.4  7.9

O también podemos obtener un cuantil particular especificando un valor entre 0 y 1, donde 1 es equivalente al 100%.

iris %>% 
  summarise(
    percentile_10 = quantile(sepal_length, 0.10),
    quartile_1 = quantile(sepal_length, 0.25),
    quartile_2 = quantile(sepal_length, 0.50),
    quartile_3 = quantile(sepal_length, 0.75),
    percentile_90 = quantile(sepal_length, 0.90)
  )

## # A tibble: 1 x 5
##   percentile_10 quartile_1 quartile_2 quartile_3 percentile_90
##           <dbl>      <dbl>      <dbl>      <dbl>         <dbl>
## 1           4.8        5.1        5.8        6.4           6.9

Conclusión y reflexiones

Las medidas de posición nos permiten resumir la distribución de una variable muy rápidamente, y si además utilizamos un diagrama de cajas, mejor. Esto las convierte en unas de las herramientas más poderosas de la estadística descriptiva.

Sin embargo, los que entendemos esto tenemos la tarea de explicarle a la mayor cantidad de gente. Estamos hablando de contenido de un curso introductorio de estadística, y muy poca gente sabría interpretar un diagrama de cajas, incluso en posiciones gerenciales o hasta autoridades públicas. En mi opinión personal, si queremos mejores decisiones en nuestras empresas y en nuestros países, la estadística debería parte de la cultura popular, y nuestros líderes deberían poder entender más allá de un gráfico de barras.

¡Tenemos tarea!