¿Cómo se ve la asimetría?

Conectemos estos gráficos con la definición. Por un lado tenemos que para una distribución simétrica, el histograma se ve simétrico: pareciera que hubiese un espejo justo donde está la media.

Más allá de esto, lo que sucede es que la media es suceptible a valores extremos mientras que la mediana es más resistente, o técnicamente, más robusta. En el ejemplo de la distribución asimétrica a la derecha, esos pocos valores altos halan la media hacia la derecha, mientras que no afectan a la mediana.

En una muestra, es prácticamente imposible tener simetría perfecta. Por esto, no basta con saber el signo de la asimetría, sino también la magnitud de esta. Para eso utilizamos los llamados Coeficientes de asimetría.

Coeficiente de asimetría basado en momentos

También conocido como el coeficiente de asimetría de Fisher-Pearson, se basa en momentos centrales:

\[ asimetría = \frac{m_3}{S^3} \] Donde \(S^3\) es la desviación típica elevada al cubo y \(m_r\) es lo que se conoce como el Momento central de orden \(r\), donde \(r\) puede ser cualquier entero positivo y se calcula se la siguiente manera.

\[ m_r = \frac{1}{n} * \sum_{i=1}^{n}(x_i - \bar{X})^r \]

library(dplyr)
library(janitor)

iris <- as_tibble(iris) %>% clean_names()

moment_skewness <- function(x) {
  n <- length(x)
  mean_x <- mean(x)
  sd_x <- sd(x)
  z <- (x - mean_x) / sd_x
  
  mean(z^3)
}

iris %>% 
  summarise_if(is.numeric, moment_skewness)

## # A tibble: 1 x 4
##   sepal_length sepal_width petal_length petal_width
##          <dbl>       <dbl>        <dbl>       <dbl>
## 1        0.309       0.313       -0.269      -0.101

Asimetría basada en cuartiles

Otro coeficiente de asimetría es uno basado en cuartíles. Gráficamente, la idea es comparar la altura de las partes superior \((Q_3 - Q_2)\) e inferior \((Q_2 - Q_1)\) de un diagrama de caja, y normalizar el resultado dividiendo entre el \(IQR\).

\[ \frac{(Q_3 - Q_2) - (Q_2 - Q_1)}{Q_3 - Q_1} \]

La interpretación de este coeficiente es la misma que la del coeficiente basado en momentos. Comparamos con el 0 y decidimos si la distribución a simétrica o asimétrica dependiendo del signo.

quartile_skewness <- function(x) {
  q <- quantile(x, c(.25, .50, .75))
  
  ((q[3] - q[2]) - (q[2] - q[1])) / (q[3] - q[1])
}

Otros coeficientes de asimetría

Otras dos maneras de medir la asimetría atribuídos a Pearson son

\[ \frac{\bar{X}-Mo}{S} \]

Donde \(Mo\) es la Moda (el valor que más se repite), aunque en el caso de variables continuas, lo ideal sería calcular su valor para datos agrupados, pero eso no lo cubriremos por ahora.

La otra alternativa es directamente comparar la media con la mediana

\[ \frac{3(\bar{X}-Md)}{S} \]

Nuevamente, para interpretar estos coeficientes comparamos su valor con el cero.

¿Cómo se ve la kurtosis?

En R base no hay una función para calcular la curtosis, pero igual podemos crear una nosotros.

kurtosis <- function(x) {
  n <- length(x)
  mean_x <- mean(x)
  sd_x <- sd(x)
  z <- (x - mean_x) / sd_x
  
  mean(z^4)
}

iris %>% 
  summarise_if(is.numeric, kurtosis)

## # A tibble: 1 x 4
##   sepal_length sepal_width petal_length petal_width
##          <dbl>       <dbl>        <dbl>       <dbl>
## 1         2.39        3.14         1.58        1.64

Veamos los histogramas de cada una estas variables